群 group 的定義 與 基本性質

集合 : set
運算 : operation
群 : group
半群 : semigroup
交換群(阿貝爾群) : abelian group
有限群 : finite group

符號 :
  屬於 : (-
  指數 : ^

ㄧ個群 定義 為一個 集合G 與其一個 運算* 具有下面四個規則 :
1. 封閉性(closed):
  a , b (- G => a * b (- G
2. 結合律(associative):
  (a * b) * c => a * (b * c)
3. 存在單位元素(identity element) e , 具有下面的性質:
  a * e = a , e * a = a
4. 反元素(inverse element):
  a (- G , 存在 a' (- G , 使得 a * a' = a' * a = e
  PS : 其中 a' 會使用 a ^ -1 記號表示

其中 僅符合 1 封閉性(closed), 2 結合律(associative) 的稱之為 半群

當一個群 的運算同時具有 交換律(commutative) 時, 稱之為 交換群(阿貝爾群) :
  any a , b (- G => a * b = b * a

當一個群只有有限多個元素 , 稱為 有限群 :
  當 G 的元素個數為 n 時 , 稱 G 是一個 order n 的 group . 用 |G| = n 來表示

* 注意群的推論中 (用 ' 表示 ^ -1)
  (a * b)' = b' * a' 但 != a' * b'
  (a * b) * (a * b)' = e ,
  a * b * b' * a' = a * (b * b') * a' = a * e * a' = a * a' = e
  => (a * b)' = b' * a'